Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.                                 

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC к ос­но­ва­нию ABC про­ве­де­на вы­со­та РО. Точка K  — се­ре­ди­на СО.  

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки А, P и K делит ребро BC в от­но­ше­нии 1:4. 

б)  Най­ди­те объем боль­шей части пи­ра­ми­ды PABC, на ко­то­рые ее делит плос­кость APK, если из­вест­но, что

 Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Дана окруж­ность с диа­мет­ром AB. Вто­рая окруж­ность с цен­тром в точке А пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точ­ках С и D, а диа­метр AB в точке E. На дуге СЕ, не со­дер­жа­щей точки D, взята точка M, от­лич­ная от точек С и E. Луч BM пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке N, а вто­рую в точке M₁.

а)  До­ка­жи­те, что точка N  — се­ре­ди­на от­рез­ка MM₁.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если из­вест­но, что CN  =  6, DN  =  13,5.

Алек­сей взял в банке кре­дит 10 млн руб­лей под 10% го­до­вых. По до­го­во­ру Алек­сей воз­вра­щал кре­дит еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го года к остав­шей­ся сумме долга до­бав­ля­лось 10% этой суммы и своим еже­год­ным пла­те­жом Алек­сей по­га­шал эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­шал сумму долга. Еже­год­ные пла­те­жи под­би­ра­лись так, чтобы долг умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый год (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся «схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась 15 млн руб­лей. Опре­де­ли­те, на сколь­ко лет Алек­сей брал кре­дит в банке.

Най­ди­те все а, при каж­дом из ко­то­рых функ­ция

будет убы­ва­ю­щей на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

На доске за­пи­са­но число 2. Раз­ре­ша­ет­ся за­пи­сы­вать новые числа, при­ме­няя одну из опе­ра­ций:

1)  можно уве­ли­чить любое из за­пи­сан­ных чисел на 3;

2)  можно любое из за­пи­сан­ных чисел воз­ве­сти в квад­рат.

Можно ли в какой‐то мо­мент по­лу­чить на доске число:

а)  2015;

б)  2016?

в)  За какое наи­мень­шее число ходов можно по­лу­чить на доске число 2017?