ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 505913 Добавить в вариант

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1 на ребре $BB_1$ и $CC_1$ выбраны точки K и M соответственно так, что $BK:BB_1=1:3,$ а $CM:CC_1=2:3.$ Найти расстояние между прямыми $A_1K$ и $BM.$

Спрятать решение

Решение.

Задачу рассмотрим в декартовой системе координат с началом в точке $B левая круглая скобка 0;0;0 правая круглая скобка .$ Оси координат направлены, как показано на рисунке.

Построим сечение куба плоскостью, параллельной прямой BM и проходящей через $AK.$ Для этого в плоскости $BCC_1$ из точки K провести прямую, параллельную $BM.$ Она пересечет $CC_1$ в точке $C_1,$ поскольку $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби =1.$ Соединим $A_1$ с точками K и $C_1$ отрезками.

Теперь найдем уравнение плоскости $A_1KC_1.$

$A_1 левая круглая скобка 1;0;1 правая круглая скобка ,$ $K левая круглая скобка 0;0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ,$ $C_1 левая круглая скобка 0;1;1 правая круглая скобка .$

$система выражений новая строка a плюс c плюс d=0 , новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби c плюс d=0 , новая строка b плюс c плюс d=0 . конец системы .$

$c= минус 3d;$ $минус 3d плюс d=0;$ $a=2d;$ $b минус 3d плюс d=0;$ $b=2d.$

$2dx плюс 2dy минус 3dz плюс d=0$ или $2x плюс 2y минус 3z плюс 1=0.$

Найдем расстояние от точки B до найденной плоскости.

$\rho = дробь: числитель: \left| 2 умножить на 0 плюс 2 умножить на 0 минус 3 умножить на 0 плюс 1 |, знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 плюс 4 плюс 9 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 17 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 17 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 12

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Куб, Расстояние между скрещивающимися прямыми

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь