а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая A₁C па­рал­лель­на плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точки A, M и B₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой A₁C до плос­ко­сти AMB₁, если па­рал­ле­ле­пи­пед пря­мо­уголь­ный и AB  =  5, AD  =  4, AA₁  =  2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол А равен 40°, от­рез­ки BB₁ и CC₁  — вы­со­ты, точки B₂ и С₂  — се­ре­ди­ны сто­рон AC и AB со­от­вет­ствен­но. Пря­мые B₁C₂ и C₁B₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что точки B₁, B₂, С₁ и С₂ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те угол B₁KB₂.

19 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит не­ко­то­рую сумму на 16 ме­ся­цев. Усло­вия кре­ди­та та­ко­вы:

  — 1 числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2 по 18 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 19‐го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1‐й по 15‐й месяц долг дол­жен быть на 30 тысяч руб­лей мень­ше долга на 19‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — к 19‐му числу 16‐го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг будет 19‐го числа 15‐го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 914 тыс. руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

На ли­сточ­ке за­пи­са­но 13 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское семи наи­мень­ших из них равно 7, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское семи наи­боль­ших из них равно 16.

а)  Может ли наи­мень­шее из 13 чисел рав­нять­ся 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 13 чисел рав­нять­ся 12?

в)  Пусть P  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 13 чисел, Q  — седь­мое по ве­ли­чи­не число. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния P − Q.