а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ AB  =  4, На реб­рах AB и B₁C₁ ос­но­ва­ний взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N так, что BM : AB  =  B₁N : B₁C₁  =  1 : 4. Через се­ре­ди­ну P бо­ко­во­го ребра BB₁ про­ве­де­но се­че­ние приз­мы, пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой MN.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость се­че­ния делит ребро АА₁в от­но­ше­нии 5:1, счи­тая от вер­ши­ны A.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точки P и Q рас­по­ло­же­ны на сто­ро­не BC тре­уголь­ни­ка ABC так, что BP : PQ : QC  =  1 : 2 : 3. Точка R делит сто­ро­ну AC этого тре­уголь­ни­ка так, что AR : RC  =  1 : 2. Точки S и T  — точки пе­ре­се­че­ния пря­мой BR с пря­мы­ми AP и AQ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABS и AST равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка PQTS к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

Груп­па от­ды­ха­ю­щих в те­че­ние 2 часов 40 минут ка­та­лась на мо­тор­ной лодке по реке с по­сто­ян­ной (от­но­си­тель­но воды) ско­ро­стью по­пе­ре­мен­но то по те­че­нию, то про­тив: в каж­дую сто­ро­ну  — не мень­ше, чем по 1 часу. В итоге лодка про­шла путь в 40 км от­но­си­тель­но бе­ре­га и, от­ча­лив от при­ста­ни А, при­ча­ли­ла к при­ста­ни В на рас­сто­я­нии 10 км от А. Най­ди­те наи­боль­шую воз­мож­ную в этих усло­ви­ях ско­рость те­че­ния реки.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет корни как боль­шие −3, так и мень­шие −3.

а)  Най­ди­те наи­мень­шую дробь, при де­ле­нии ко­то­рой на каж­дую из дро­бей и по­лу­ча­ют­ся на­ту­раль­ные числа.

б)  Най­ди­те наи­мень­шую дробь, при де­ле­нии ко­то­рой на каж­дую из дро­бей и по­лу­ча­ют­ся на­ту­раль­ные числа.

в)  Най­ди­те наи­мень­шую дробь, при де­ле­нии ко­то­рой на каж­дую из дро­бей и по­лу­ча­ют­ся на­ту­раль­ные числа.