В правильной треугольной пирамиде PABC (P — вершина) точка K – середина AB, точка M — середина BC, точка N лежит на ребре АР, причем АN : NP = 1 : 3.
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки N, K, M, является равнобедренная трапеция.
б) Найдите угол между плоскостями NKM и ABC, если известно, что AB = 6, АР = 8.
а) Отметим на ребре PC точку T так, что 
Тогда 
откуда KMTN — трапеция. Заметим далее, что 
поэтому треугольники CTM и ANK равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, 
и трапеция равнобедренная.
(очевидно, 
так что это не параллелограмм).
б) Пусть H — середина AC, тогда 
Обозначим за O центр основания пирамиды, за E и F пересечение KM и NT с плоскостью PHB соответственно, за G — проекцию точки F на плоскость ABC (очевидно, она лежит на BH). Тогда FE, 
(поскольку лежат в плоскости BHP) и линейный угол искомого двугранного угла это 
Теперь проведем некоторые вычисления.
(поскольку 
Тогда 
Ответ: 