В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Точка N — середина отрезка АС.
а) Докажите, что плоскость NA1D делит сторону АВ основания призмы в отношении 2 : 1.
б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости NA1D .
а) Рассмотрим основание призмы — шестиугольник ABCDEF в котором N — середина его диагонали AC. Данная точка является точкой пересечения диагоналей AC и BE. Так как 
и 
то 
Тогда сечение пересекает основание по прямой DN. Пусть M является точкой пересечения DN и AB. Рассмотрим треугольник DEN и BMN. Эти треугольники подобны по двум углам, при этом коэффициент подобия 
следовательно, 
Тогда 
б) Рассмотрим тетраэдр 
и вычислим его объем двумя способами:
С другой стороны, 
где h — искомое расстояние.
Найдем площадь треугольника A1MD по формуле Герона. Для этого найдем его стороны:
Таким образом, площадь треугольника 
Тогда искомое расстояние 
Ответ: б) 