а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем АВС точка М  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SC, на реб­рах AS и BS от­ме­че­ны точки K и L со­от­вет­ствен­но так, что AK : KS  =  SL : LB  =  3 : 1. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 6, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

а)  До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стью АВС и плос­ко­стью KML равен 30°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти KML.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 48 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐го по 14‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2030 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно r, если общая сумма пла­те­жей в 2030 году со­ста­вит 3195 тысяч руб­лей, а в 2029 году  — 3555 тысяч руб­лей?

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD точка K делит сто­ро­ну АВ в от­но­ше­нии АK : KВ  =  2 : 1, DK пе­ре­се­ка­ет АС в точке Р. На сто­ро­не AD от­ме­че­на точка Т так, что РТ ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ACD, а около четырёхуголь­ни­ка PCDT можно опи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что AT : TD  =  5 : 3

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в четырёхуголь­ник PCDT, если АВ  =  3.

Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не­обя­за­тель­но раз­лич­ных трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 2970. В каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и тре­тью цифры (на­при­мер, число 123 за­ме­ни­ли на число 321).

а)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 3 раза мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 2 раза мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.