В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D.
а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD.
б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что 
а) Поскольку P и B равноудалены от A и D, они обе лежат в плоскости, перпендикулярной AD и проходящей через его середину, поэтому 
Итак, PB перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости CAD, поэтому 
Итак, точка P лежит на высоте пирамиды, опущенной из точки 
Кроме того, она лежит в плоскости, проходящей через середину CD и перпендикулярной 
Значит, такая точка всего одна (точка пересечения этой плоскости с высотой из точки B). Ясно, что точка пересечения высот подходит, значит, это она и есть.
б) Обозначим ребро пирамиды за 
Тогда расстояние от вершины основания до точка падения высоты составит 
и сама высота по теореме Пифагора 
C другой стороны, высоты правильного тетраэдра делятся точкой пересечения в отношении 
считая от вершины, поэтому длина высоты равна 
Решая уравнение 
находим 
Тогда
Ответ: б) 