а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Апо­фе­ма пра­виль­ной пи­ра­ми­ды SABCD равна 2, бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ABCD угол, рав­ный Точки E, F, K вы­бра­ны со­от­вет­ствен­но на реб­рах AB, AD и SC так, что

а)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью EFK.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SD и плос­ко­стью EFK.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Точки K и L яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми бо­ко­вых сто­рон AB и BC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Точка M рас­по­ло­же­на на ме­ди­а­не AL так, что Окруж­ность ω с цен­тром в точке M ка­са­ет­ся пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ет пря­мую KL в точ­ках P и Q,

а)  Найти ра­ди­ус окруж­но­сти ω.

б)  Найти пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC.

Из пунк­та А, рас­по­ло­жен­но­го на бе­ре­гу реки, вниз по те­че­нию от­пра­ви­лись две мо­тор­ные лодки. Ско­рость те­че­ния реки 2 км/ч, соб­ствен­ная ско­рость «быст­рой» лодки на 3 км/ч боль­ше ско­ро­сти «мед­лен­ной» лодки. Через не­ко­то­рое время они по­вер­ну­ли об­рат­но, и «быст­рая» лодка при­ш­ла в пункт А рань­ше, чем «мед­лен­ная» на время не мень­шее вре­ме­ни, ко­то­рое лодки шли от на­ча­ла дви­же­ния до по­во­ро­та. Най­ди­те наи­боль­шее целое зна­че­ние ско­ро­сти «быст­рой» лодки (в км/ч), если соб­ствен­ные ско­ро­сти лодок боль­ше ско­ро­сти те­че­ния.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра a, при ко­то­ром си­сте­ма

имеет ре­ше­ния.

В не­ко­то­ром цар­стве было не­сколь­ко (более двух) кня­жеств. Од­на­ж­ды не­ко­то­рые из этих кня­жеств объ­яви­ли себя цар­ства­ми и раз­де­ли­лись каж­дое на то же самое число кня­жеств, ко­то­рое было в самом на­ча­ле. Затем всё новые и новые кня­же­ства из числа преж­них и вновь об­ра­зу­ю­щих­ся объ­яв­ля­ли себя цар­ства­ми и де­ли­лись каж­дое на то же самое число кня­жеств, ко­то­рое было в самом на­ча­ле.

а)  Могло ли сразу после од­но­го из де­ле­ний общее число кня­жеств стать рав­ным 102?

б)  Могло ли в какой‐то мо­мент вре­ме­ни общее число кня­жеств стать рав­ным 320, если из­вест­но, что сразу после од­но­го из де­ле­ний общее число кня­жеств было равно 162?

в)  Сколь­ко кня­жеств было в самом на­ча­ле, если сразу после ка­ко­го‐то из де­ле­ний общее число кня­жеств стало ровно в 38 раз боль­ше пер­во­на­чаль­но­го?