Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 521543
i

Ос­но­ва­ние и вы­со­та пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 равны AB=6, AA1=4.

а)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми A1B и B1C.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A1B и B1C.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть T  — се­ре­ди­на A_1C_1, O  — се­ре­ди­на B_1C (и BC_1). Тогда A_1B\parallel TO, по­сколь­ку TO  — сред­няя линия A_1BC_1. По­это­му \angle левая круг­лая скоб­ка A_1B;B_1C пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle левая круг­лая скоб­ка TO,B_1O пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle B_1OT. Най­дем его из тео­ре­мы ко­си­ну­сов.

B_1T= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби A_1C_1=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , B_1O= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби B_1C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , TO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби A_1B= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та

27=13 плюс 13 минус 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те ко­си­нус альфа , от­ку­да \angle левая круг­лая скоб­ка A_1B;B_1C пра­вая круг­лая скоб­ка = арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 26 конец дроби (в тре­уголь­ни­ке по­лу­ча­ет­ся тупой угол, но угол между пря­мы­ми дол­жен быть ост­рым).

 

б)  V_A_1BB_1C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка C,A_1B_1B пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_A_1B_1B= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 12=12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

C дру­гой сто­ро­ны,

V_A_1BB_1C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на A_1B умно­жить на B_1C умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка A_1B,B_1C пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на синус \angle левая круг­лая скоб­ка A_1B;B_1C пра­вая круг­лая скоб­ка =

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка A_1B,B_1C пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 26 конец дроби =d левая круг­лая скоб­ка A_1B,B_1C пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

по­это­му ис­ко­мое рас­то­я­ние равно дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: а) арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 26 конец дроби ; б) дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 218
Методы геометрии: Метод объ­е­мов
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025