Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка P  — се­ре­ди­на AB, точка K  — се­ре­ди­на BC. Через точки P и K па­рал­лель­но SB про­ве­де­на плос­кость Ω.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью Ω яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. 

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти Ω, если из­вест­но, что SC  =  5, AC  =  6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В рав­но­бо­кую тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность. 

а)  До­ка­жи­те, что диа­метр окруж­но­сти равен сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции. (Сред­ним  гео­мет­ри­че­ским двух по­ло­жи­тель­ных чисел а и b на­зы­ва­ет­ся зна­че­ние вы­ра­же­ния  ) 

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тра­пе­ции, если из­вест­но, что длины ос­но­ва­ний тра­пе­ции 8 и 18.

Для про­из­вод­ства не­ко­то­ро­го про­дук­та В, со­дер­жа­ще­го 40% спир­та, Алек­сей может за­ку­пать сырьё у двух по­став­щи­ков А и Б. По­став­щик А пред­ла­га­ет 90%‐ый рас­твор спир­та в ка­ни­страх объёмом 1000 л по цене 100 тыс. руб. за ка­ни­стру. По­став­щик Б пред­ла­га­ет 80%‐ый рас­твор спир­та в ка­ни­страх объёмом 2000 л по цене 160 тыс. руб. за ка­ни­стру. По­лу­чен­ный в ходе про­из­вод­ства про­дукт В раз­ли­ва­ет­ся в бу­тыл­ки объёмом 0,5 л. Какую наи­мень­шую сумму Алек­сей дол­жен за­тра­тить на сырье, если пла­ни­ру­ет­ся про­из­ве­сти ровно 60 000 бу­ты­лок про­дук­та В?  

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Опре­де­ли­те, имеют ли общие члены две по­сле­до­ва­тель­но­сти 

а)  3; 16; 29; 42;… и 2; 19; 36; 53;…   

б)  5; 16; 27; 38;… и 8; 19; 30; 41;…   

в)  Опре­де­ли­те, какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство общих чле­нов может быть у двух ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий  1; …; 100 и 9; …; 999,  если из­вест­но, что у каж­дой из них раз­ность яв­ля­ет­ся целым чис­лом, от­лич­ным от 1.