В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM = DN = 4 и АK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.
а) Отрезки AM и DN равны 4, поэтому прямые MN, AD и BC параллельны. Следовательно, плоскость сечения пересекает грань SAD по прямой KL, которая параллельна прямым AD и BC (точка K принадлежит прямой SD). Найдем боковое ребро пирамиды. Пусть O — центр основания пирамиды, тогда
Таким образом,
Следовательно, треугольник AMK подобен треугольнику ASB, прямые MK и SB параллельны, откуда, учитывая, что прямые MN и BC параллельны, получаем, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Заметим, что прямая KL параллельна плоскости SBC, поэтому расстояние от точки K до плоскости SBC равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости SBC. Пусть R и Q — середины ребер BC и AD соответственно. Построим сечение пирамиды, проходящее через точки S, R и Q. Сечение содержит высоту пирамиды SO и T — середину прямой KL. Прямая BC перпендикулярна плоскости SQR. Опустим перпендикуляр QQ' на прямую SR, тогда прямая QQ' будет перпендикулярна плоскости SBC. Аналогично опустим перпендикуляр TT' из точки T. Его длина является расстоянием от точки T до плоскости SBC, то есть искомым расстоянием. Найдем его:
Треугольники SQQ' и STT' подобны, поэтому 
откуда
Ответ: б) 