Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505925
i

К диа­го­на­ли A_1C куба ABCDA_1B_1C_1D_1 про­ве­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры из се­ре­дин ребер AB и AD. Най­ди­те угол между этими пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть ребро куба равно 2a,a боль­ше 0, О  — центр куба, точки К и N  — се­ре­ди­ны рёбер AD и AВ со­от­вет­ствен­но.

За­ме­тим, что A1N = NC = a ко­рень из 5 , тре­уголь­ник A1NC рав­но­бед­рен­ный, его ме­ди­а­на NO яв­ля­ет­ся вы­со­той, по­это­му NО  — пер­пен­ди­ку­ляр к AС. Ана­ло­гич­но KO пер­пен­ди­ку­ляр к АС.

Найдём угол KON. Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат: K левая круг­лая скоб­ка a; 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , N левая круг­лая скоб­ка 2a; a; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , O левая круг­лая скоб­ка a; a; a пра­вая круг­лая скоб­ка ,

\overrightarrowOK= левая круг­лая скоб­ка a минус a; 0 минус a; 0 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 0; минус a; минус a пра­вая круг­лая скоб­ка .

\overrightarrowON= левая круг­лая скоб­ка 2a минус a; a минус a; 0 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка a; 0 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка .

Найдём угол между век­то­ра­ми из их ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния:

ко­си­нус \widehatKON= дробь: чис­ли­тель: \overrightarrowOK умно­жить на \overrightarrowON, зна­ме­на­тель: | \overrightarrowOK| умно­жить на | \overrightarrowON | конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 0 умно­жить на a минус a умно­жить на 0 минус a умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус a пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 0 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Сле­до­ва­тель­но, \widehatKON=60 гра­ду­сов.

 

Ответ: 60°.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 14
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор стереометрии: Куб, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025