ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 505949 Добавить в вариант

Точки $K, P, M$   — середины ребер $AD, DC$ и $A_1B_1$ соответственно куба $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Найти угол между прямой $AA_1$ и плоскостью, проходящей через точку K перпендикулярно прямой $MP.$

Спрятать решение

Решение.

Решение:

Координатно-векторный способ.

Пусть ребро куба равно 2.

Введем декартову систему координат, как показано на рис.

Найдем координаты необходимых точек:

$A левая круглая скобка 2;0;0 правая круглая скобка , A1 левая круглая скобка 2;0;2 правая круглая скобка , M левая круглая скобка 1;0;2 правая круглая скобка , P левая круглая скобка 1;2;0 правая круглая скобка .$

$\overlineAA_1= левая круглая скобка \overline0;0;2 правая круглая скобка ; \overlineMP= левая круглая скобка \overline0;2; минус 2 правая круглая скобка .$

Если $\varphi$   — искомый угол, то:

$синус \varphi = дробь: числитель: \left| \overlineAA_1 умножить на \overlineMP |, знаменатель: \left| \overlineAA_1 | умножить на \left| \overlineMP | конец дроби = дробь: числитель: \left| 0 умножить на 0 плюс 0 умножить на 2 плюс 2 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка |, знаменатель: корень из: начало аргумента: 0 конец аргумента в квадрате плюс 0 в квадрате плюс 2 в квадрате умножить на корень из: начало аргумента: 0 конец аргумента в квадрате плюс 2 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$

$= дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$ $\varphi =45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Элементарно-геометрический подход.

Угол между заданной плоскостью и ребром $AA_1$ будет равен углу между прямой MP, перпендикулярной к плоскости, и прямой PE, перпендикулярной к ребру $AA_1.$

Треугольник MPE  — прямоугольный, к тому же равнобедренный. Следовательно, $\angle =45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: $45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 18

Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат

Классификатор стереометрии: Куб, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Угол между прямой и плоскостью

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь