Основанием четырехугольной пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами является прямоугольник ABCD, площадь которого равна 25. Плоскость, параллельная плоскости основания, пересекает ребро AS в точке A1, а высоту пирамиды — в середине О. Угол между гранями ADS и BCS равен 60°.
а) Докажите, что сечение пирамиды OABCD плоскостью BCA1 делит ее высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины.
б) Найдите площадь сечения пирамиды OABCD плоскостью BCA1.
а) Рассмотрим сечение пирамиды SABCD плоскостью BCA1. Так как оно содержит прямую BC, сечение пересекает грань SAD по прямой, параллельной BC. Пусть D1 — точка пересечения BCA1 с ребром SD, тогда D1 — середина SD. Рассмотрим плоскость (SBD), содержащую высоту пирамиды: 
Пусть M — точка пересечения BD1 с высотой пирамиды, тогда M — точка пересечения медиан треугольника SBD, значит, 
Но O — середина SO1, следовательно,
Тогда
б) Пусть точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно. Тогда PSQ — линейный угол двугранного угла между гранями BCS и ADS, значит, 
и треугольник PSQ — равносторонний.
Пусть 
тогда PN — медиана (и биссектриса) треугольника PSQ и N — середина 
— средняя линия треугольника 
значит, 
Пусть, далее, 
тогда точки L и K — точки сечения пирамиды OABCD плоскостью BCA1.
Пусть, наконец, L1, K1 и R1 — проекции L, K и R на плоскость ABCD соответственно. Треугольники RON и RQP подобны по двум углам. Треугольники 
и 
тоже подобны по двум углам. Тогда
Угол 
— линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. 
Тогда,
Выразим площадь трапеции 
через площадь прямоугольника ABCD и вычислим её:
Откуда,
Ответ: 