В основании прямой призмы KBCDK1B1C1D1 лежит ромб KBCD со стороной, равной 4 и углом DKB, равным 60°. Точки E и F являются соответственно серединами сторон KD и KB нижнего основания призмы. Прямые B1E и D1F пересекаются в точке O так, что угол B1OD1 равен 90°.
а) Докажите, что угол между плоскостями DD1F и BB1E равен 60°.
б) Найдите объем пирамиды EFK1C1.
а) Заметим, что плоскости BB1E и DD1F содержат параллельные боковые рёбра призмы BB1 и DD1, следовательно, они будут пересекаться по прямой, параллельной боковым рёбрам призмы. Проведём прямую EE1, параллельную прямой BB1, и прямую FF1, параллельную прямой DD1, тогда они лежат в плоскостях BB1E и DD1F соответственно. Пусть M и M1 — точки пересечения прямых BE с DF и B1E1 с D1F1 соответственно. Тогда MM1 — прямая пересечения плоскостей BB1E и DD1F. Тогда угол BMF — линейный угол искомого угла. Заметим, что треугольник KBD — равносторонний, следовательно, 
далее,
тогда 
б) Заметим, что OEF и OB1D1 — подобные равнобедренные треугольники. При этом, EF = 2, а E1F1 = 4, следовательно, 
отсюда 
Далее, имеем:
Теперь найдём каждый из объёмов:
Окончательный ответ: 
Ответ: 