а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной S лежит пря­мо­уголь­ник, центр ко­то­ро­го на­хо­дит­ся на вы­со­те пи­ра­ми­ды. Плос­кость пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды в точ­ках P, Q, M и N так, что P и M  — про­ти­во­по­лож­ные вер­ши­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка PQMN. Из­вест­но, что

а)  Най­ди­те SQ и SN.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно 10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

На ос­но­ва­ни­ях AD и BC тра­пе­ции ABCD по­стро­е­ны квад­ра­ты ADMN и BCRS, рас­по­ло­жен­ные вне тра­пе­ции. Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T.

а)  До­ка­жи­те, что цен­тры квад­ра­тов и точка T лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка RN, если а

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 12 млн руб­лей на 15 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — пока долг боль­ше по­ло­ви­ны ис­ход­ной суммы, каж­дый ян­варь он воз­рас­та­ет на 12% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — если долг мень­ше по­ло­ви­ны ис­ход­ной суммы, то каж­дый ян­варь он воз­рас­та­ет на 4% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Какую сумму нужно вер­нуть банку?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень.

Пусть n  — трёхзнач­ное число, а   — сумма квад­ра­тов его цифр.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что

б)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние от­но­ше­ния