а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вое ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию и равно 1. Точка F  — се­ре­ди­на AB.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми SF и AC равен

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку F па­рал­лель­но пря­мым BD и SС.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са угла B пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность этого тре­уголь­ни­ка в точке F. Точка E  — центр окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся сто­ро­ны АС и про­дол­же­ний сто­рон AB и BC (внев­пи­сан­ной окруж­но­сти). Точка O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AF и OF равны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка CF, если OE  =  14.

Все­во­лод и Алек­сандра в один день от­кры­ли в банке по вкла­ду на сумму 1 млн руб. с воз­мож­но­стью ча­стич­но­го сня­тия средств. Вме­сто вы­пла­ты про­цен­тов в конце оче­ред­но­го ме­ся­ца банк уве­ли­чи­вал раз­мер вкла­да на не­ко­то­рую фик­си­ро­ван­ную сумму, но толь­ко в том слу­чае, если кли­ент в те­че­ние дан­но­го ме­ся­ца не сни­мал день­ги со счета. Кроме того, Все­во­лод попал под усло­вия бо­нус­ной акции, по­это­му его еже­ме­сяч­ная при­бав­ка ока­за­лась выше, чем у Алек­сан­дры. Когда вклад Все­во­ло­да до­стиг суммы 1,2 млн руб., он каж­дый месяц с марта по ав­густ 2019 года сни­мал со счета по 25 тыс. руб., а вклад Алек­сан­дры про­дол­жал еже­ме­сяч­но расти. В конце июля 2019 года суммы на вкла­дах ока­за­лись оди­на­ко­вы­ми, а спу­стя не­ко­то­рое время срав­ня­лись по­втор­но. Опре­де­ли­те раз­мер вкла­дов Все­во­ло­да и Алек­сан­дры, когда они срав­ня­лись по­втор­но, если после ав­гу­ста день­ги со сче­тов не сни­ма­лись.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на ин­тер­ва­ле

На сайте школы идет го­ло­со­ва­ние на зва­ние «Луч­ший уче­ник года», где каж­дый по­се­ти­тель го­ло­су­ет толь­ко за од­но­го из пре­тен­ден­тов. Рей­тинг каж­до­го пре­тен­ден­та (доля го­ло­сов, от­дан­ных за него) вы­ра­жа­ет­ся в про­цен­тах, округ­лен­ных до це­ло­го числа. На­при­мер, числа 9,3; 17,5 и 19,9 округ­ля­ют­ся до 9; 18 и 20 со­от­вет­ствен­но.

а)  Всего про­го­ло­со­ва­ло 13 по­се­ти­те­лей сайта. Мог ли рей­тинг од­но­го из пре­тен­ден­тов рав­нять­ся 41?

б)  Пусть пре­тен­ден­тов чет­ве­ро. Могла ли сумма рей­тин­гов быть боль­ше 100?

в)  На сайте отоб­ра­жа­лось, что рей­тинг не­ко­то­ро­го пре­тен­ден­та рав­нял­ся 5. Это число не из­ме­ни­лось и после того, как Игорь про­го­ло­со­вал за него. При каком наи­мень­шем числе от­дан­ных за всех пре­тен­ден­тов го­ло­сов, вклю­чая Игоря, такое воз­мож­но?