а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии тре­уголь­ной приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AВС с пря­мым углом В. На ребре ВС взята точка L, при­чем BL : LC  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость про­хо­дя­щая через точку N пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани и точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани па­рал­лель­но АС, про­хо­дит через точку L.

б)   Пусть Q  — се­ре­ди­на ребра Най­ди­те угол между пря­мы­ми BQ и LN, если приз­ма пря­мая, АВ  =  ВС  =  6,

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке АВС точка О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти. Пря­мая BD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой АО, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке D, а опи­сан­ную во­круг тре­уголь­ни­ка АВС окруж­ность  — в точке Т.

а)  До­ка­жи­те, что АС  — бис­сек­три­са угла ТСВ.

б)  Най­ди­те CD, если АВ  =  84, АС  =  98.

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 2400 тысяч руб­лей на (n + 2) ме­ся­ца. Усло­вии его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2,5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа пер­во­го и по­след­не­го ме­ся­ца долг дол­жен умень­шить­ся на 400 тысяч руб­лей, а во все осталь­ные ме­ся­цы долг дол­жен быть мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на a тысяч руб­лей.

Най­ди­те n, если всего банку будет вы­пла­че­но 3690 тысяч руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Набор со­сто­ит из со­ро­ка пяти целых по­ло­жи­тель­ных чисел, среди ко­то­рых есть числа 6, 7, 8. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых трид­ца­ти пяти чисел этого на­бо­ра мень­ше 2.

а)  Может ли такой набор со­дер­жать ровно 26 еди­ниц?

б)  Может ли такой набор со­дер­жать менее 26 еди­ниц?

в)  До­ка­жи­те, что в любом таком на­бо­ре есть не­сколь­ко чисел, сумма ко­то­рых равна 50.