ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 521345 Добавить в вариант

В прямоугольном параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ АВ  =  2, АD  =  1, АА₁  =  3. Точка К лежит на ребре СС₁ так, что СK : С₁K  =  5 : 4.

а)  Докажите, что прямые DB₁ и D₁K перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние от точки D₁ до плоскости KА₁D.

Спрятать решение

Решение.

Введем координаты с началом в точке C и осями $x,y,z$ вдоль ребер $CB,CD,CC_1$ соответственно. Тогда координаты точек будут такими

$D левая круглая скобка 0,2,0 правая круглая скобка ,B_1 левая круглая скобка 1,0,3 правая круглая скобка ,D_1 левая круглая скобка 0,2,3 правая круглая скобка ,K левая круглая скобка 0,0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ,A_1 левая круглая скобка 1,2,3 правая круглая скобка .$

а)   $\overlineDB_1= левая фигурная скобка 1, минус 2,3 правая фигурная скобка , \overlineD_1K= левая фигурная скобка 0, минус 2, минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$ Поскольку их скалярное произведение равно нулю, они перпендикулярны.

б)  Пусть уравнение плоскости $KA_1D$ это $Ax плюс By плюс Cz плюс D=0.$ Тогда $дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби C плюс D=0, 2B плюс D=0, A плюс 2B плюс 3C плюс D=0.$ Взяв $D= минус 10,$ находим $B=5,C=6,A= минус 18.$ Тогда расстояние равно $дробь: числитель: минус 18 умножить на 0 плюс 5 умножить на 2 плюс 6 умножить на 3 минус 10, знаменатель: корень из: начало аргумента: 324 плюс 25 плюс 36 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 385 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 385 конец аргумента конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 202

Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Перпендикулярность прямых, Прямоугольный параллелепипед, Расстояние от точки до плоскости

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь