В основании прямой призмы 
лежит прямоугольный треугольник с острым углом А, равным 30°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через меньший катет BC одного основания и середину гипотенузы 
противоположного основания призмы, если расстояние между основаниями призмы равно расстоянию от вершины А до искомого сечения и равно 6.
Пусть точка N — середина гипотенузы 
Построим заданное сечение (CMNB, M — середина отрезка 
), P — проекция точки M на плоскость нижнего основания призмы.
Поместим призму в декартову систему координат, как показано на рисунке.
Составим уравнение плоскости 
Поскольку сечение проходит через начало координат, значение d в уравнении 
будет равно нулю. Сторона BC заданного треугольника лежит на оси 
это значит, что в уравнении плоскости значение коэффициента а рано нулю. Итак, искомое уравнение будет иметь вид: 
Пусть 
Тогда 
Выпишем координаты необходимых точек: 
Для нахождения значений в и с достаточно подставить координаты точки M в уравнение
Итак, искомое уравнение выглядит так: 
Разделим обе части уравнения на 
Получим:
или 
Далее для вычисления значения m используем формулу расстояния от точки до плоскости.
(не подходит по смыслу задачи).
Итак, ВС = 4. Очевидно, что 
(по свойству средней линии треугольника). 
В прямоугольном треугольнике MPC 
=
Для вычисления искомой площади заметим:
1) 
— трапеция по способу построения и с учетом условия задачи.
2) MC — наклонная к (ABC), PC — проекция наклонной 
следовательно, 
по теореме о трех перпендикулярах.
Ответ: 