а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды SABCD  — квад­рат ABCD бо­ко­вое ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния. BC  =  2SA. Точка M  — се­ре­ди­на ребра AD.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через пря­мую SM па­рал­лель­но BD,  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SM и BD, если

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC BD  — диа­метр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Про­дол­же­ние вы­со­ты BH пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка DL, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен

Пра­ви­тель­ство ре­ши­ло за­крыть не­рен­та­бель­ные шахты и по­стро­ить новые фаб­ри­ки и за­во­ды. В ре­зуль­та­те за­кры­тия одной шахты уволь­ня­ет­ся 180 че­ло­век, при этом на кон­сер­ва­цию шахты и вы­пла­ту по­со­бий уволь­ня­е­мым тра­тит­ся 52 мил­ли­о­на руб­лей. Стро­и­тель­ство од­но­го но­во­го за­во­да с пер­со­на­лом 170 че­ло­век стоит 43 млн руб., а одной фаб­ри­ки с пер­со­на­лом 110 че­ло­век  — 20 млн руб. Чему равно мак­си­маль­но воз­мож­ное уве­ли­че­ние сум­мар­но­го числа новых ра­бо­чих мест, если из­вест­но, что сумма всех за­трат пра­ви­тель­ства со­ста­ви­ла ровно 714 млн руб.?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых функ­ция имеет не более двух экс­тре­му­мов на про­ме­жут­ке

За круг­лым сто­лом си­де­ли 110 че­ло­век, а на столе ле­жа­ли аб­ри­ко­сы. Для каж­дой пары со­се­дей число съе­ден­ных ими аб­ри­ко­сов от­ли­ча­ет­ся на 3.

а)  Могли ли быть съе­де­ны все аб­ри­ко­сы, если из­на­чаль­но их было 1000?

б)  Какое наи­мень­шее число аб­ри­ко­сов могло остать­ся, если из­на­чаль­но их было 1000?

в)  Пусть один из при­сут­ству­ю­щих съел a аб­ри­ко­сов, а дру­гой b. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние a − b при усло­вии, что из­на­чаль­но было 10 000 аб­ри­ко­сов.