Дано урав­не­ние

а)   Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни на про­ме­жут­ке

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, в ос­но­ва­нии ко­то­ро­го лежит квад­рат со сто­ро­ной 1. На плос­ко­сти ос­но­ва­ния име­ет­ся квад­рат CDKM. В этот квад­рат впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра с вы­со­той, рав­ной длине от­рез­ка AA₁. Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ос­но­ва­ния ци­лин­дра до точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ле­пи­пе­да, если рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B₁D₁ равно 2.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат за­да­на точка M (x; y), x > 0, y > 0. Дана окруж­ность с цен­тром в точке M ра­ди­у­са r, при­чем любая точка окруж­но­сти имеет по­ло­жи­тель­ные ко­ор­ди­на­ты. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку O (0; 0) и через точку M, пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках K и P, при­чем ор­ди­на­та точки K мень­ше, чем ор­ди­на­та точки P. Пря­мая, ко­то­рая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K, пе­ре­се­ка­ет пря­мые x = 0 и y = 0 в точ­ках A и B.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка OKB.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет два ре­ше­ния.

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с це­ло­чис­лен­ны­ми сто­ро­на­ми.

а)  Могут ли сто­ро­ны дан­но­го тре­уголь­ни­ка быть чле­на­ми воз­рас­та­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии?

б)  До­ка­жи­те, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го n можно найти такие три числа, ко­то­рые будут яв­лять­ся сто­ро­на­ми этого тре­уголь­ни­ка и чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с раз­но­стью n.