Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де АВСDA₁B₁C₁D₁ АВ  =  2, АD  =  1, АА₁  =  3. Точка К лежит на ребре СС₁ так, что СK : С₁K  =  5 : 4.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые DB₁ и D₁K пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до плос­ко­сти KА₁D.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В пря­мо­уголь­ни­ке АВСD на сто­ро­не ВС от­ме­че­на точка К так, что ВК  =  2СК.

а)  До­ка­жи­те, что ВD делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка АКС в от­но­ше­нии 3 : 7.

б)  Пусть М  — точка пе­ре­се­че­ния АК и BD, Р  — точка пе­ре­се­че­ния DK и АС. Най­ди­те длину

от­рез­ка МР, если АВ  =  8, ВС  =  6.

1 ап­ре­ля 2017 года Юрий от­крыл в банке счёт «По­пол­няй», вло­жив 6 млн. руб­лей сро­ком на 4 года под 10% го­до­вых. По до­го­во­ру с бан­ком про­цен­ты по вкла­ду долж­ны на­чис­лять­ся 31 марта каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го года.

1 ап­ре­ля 2018 года и 1 ап­ре­ля 2020 года Юрий решил по­пол­нять счёт на п тысяч руб­лей (п – целое число).

1 ап­ре­ля 2021 года Юрий со­би­ра­ет­ся за­крыть счёт в банке и за­брать все при­чи­та­ю­щи­е­ся ему день­ги.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние п, при ко­то­ром доход Юрия от вло­же­ний в банк за эти 4 года ока­жет­ся не более 3 млн. руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно один ко­рень.

На доске за­пи­са­ны 20 чисел: пять еди­ниц, пять двоек, пять троек и пять чет­ве­рок. Эти числа раз­би­ва­ют на две груп­пы (в каж­дой груп­пе не менее од­но­го числа). Пусть сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел в пер­вой груп­пе равно А, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел во вто­рой груп­пе равно В.

а)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 20 чисел ока­зать­ся рав­ным ?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 20 чисел ока­зать­ся мень­ше, чем ?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния