а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 8. На реб­рах ВС и A₁D₁ взяты со­от­вет­ствен­но точки К и L, а на ребре CD  — точки М и N так, что

а)  До­ка­жи­те, что ко­си­нус угла между пря­мы­ми KN и ML равен

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми KN и ML.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Фаб­ри­ка по­лу­чи­ла заказ на из­го­тов­ле­ние 1005 де­та­лей типа А и 2010 де­та­лей типа В. Каж­дый из 192 ра­бо­чих фаб­ри­ки за­тра­чи­ва­ет на из­го­тов­ле­ние двух де­та­лей типа А время, за ко­то­рое он мог бы из­го­то­вить одну де­таль типа В. Каким об­ра­зом сле­ду­ет раз­де­лить ра­бо­чих фаб­ри­ки на две бри­га­ды, чтобы вы­пол­нить заказ за наи­мень­шее время, при усло­вии, что обе бри­га­ды при­сту­пят к ра­бо­те од­но­вре­мен­но и каж­дая из бри­гад будет за­ня­та из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей толь­ко од­но­го типа?

Вы­со­та BH тре­уголь­ни­ка ABC в раз боль­ше ра­ди­у­са опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти с цен­тром O.

а)  До­ка­зать, что пря­мая, про­хо­дя­щая через точки K и M  — ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров, опу­щен­ных из точки H на сто­ро­ны AB и BC со­от­вет­ствен­но, про­хо­дит через точку O.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти, если AB  =  6,

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра p, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ный ко­рень.

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вме­сто не­ко­то­рых из чисел (воз­мож­но, од­но­го) на доске на­пи­са­ли числа, мень­шие пер­во­на­чаль­ных на еди­ни­цу. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на доске уве­ли­чи­лось?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 34?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.