Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что объём пи­ра­ми­ды с ос­но­ва­ни­ем A₁BCD₁ и вер­ши­ной в точке B₁ со­став­ля­ет тре­тью часть объёма куба.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми B₁A₁B и B₁D₁C.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Три окруж­но­сти, две из ко­то­рых оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са, по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точ­ках A, B и C.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус круга, впи­сан­но­го в четырёхуголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A, B, C, O, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей 6; 6 и 4, а точка O  — центр мень­шей из них.

Из го­ро­да А в город В вы­ехал ав­то­мо­биль. Од­но­вре­мен­но с ним из пунк­та С, рас­по­ло­жен­но­го между А и В, в город А вы­ехал вто­рой ав­то­мо­биль. Пер­вый при­был в В од­но­вре­мен­но с при­бы­ти­ем вто­ро­го в А. Затем ав­то­мо­би­ли од­но­вре­мен­но вы­еха­ли нав­стре­чу друг другу, встре­ти­лись в пунк­те P, и од­но­вре­мен­но при­бы­ли пер­вый  — в А, вто­рой  — в В. Каж­дый ав­то­мо­биль ехал со своей по­сто­ян­ной ско­ро­стью, но вто­рой сде­лал оста­нов­ку на пути от С к А, а пер­вый  — оста­нов­ку той же про­дол­жи­тель­но­сти на пути от В к P. Най­ди­те рас­сто­я­ние между С и P, если рас­сто­я­ние от А до С равно 270 км, а рас­сто­я­ние от С до В равно 180 км.

Най­ди­те все a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно че­ты­ре корня на про­ме­жут­ке

Целые числа a₁, a₂, a₃, a₄ че­тырь­мя по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. 

а)  Может ли раз­ность дро­бей и рав­нять­ся

б)  Может ли раз­ность дро­бей и рав­нять­ся

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные целые зна­че­ния раз­но­сти дро­бей и