Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505919
i

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BCD_1 и ABC_1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат. Ось x на­пра­вим по пря­мой AE, ось у  — по AB, ось z  — по пря­мой A_1. Ко­ор­ди­на­ты не­об­хо­ди­мых точек:

B левая круг­лая скоб­ка 0; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , C левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , D_1 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , B левая круг­лая скоб­ка 0; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , C_1 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти BCD_1.

 

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та b плюс d=0 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a плюс дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби b плюс d=0 , новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та a плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та b плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та c плюс d=0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка b= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс d=0 , новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та c плюс d=0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка b= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a= дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та a плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та c=0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка b= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , новая стро­ка a= дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби , новая стро­ка d плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та c=0 конец си­сте­мы .  рав­но­силь­но   си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка b= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , новая стро­ка a= дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби , новая стро­ка c= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби . конец си­сте­мы .

Таким об­ра­зом, урав­не­ние плос­ко­сти BCD_1 вы­гля­дит так: дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби y минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби z плюс d=0 или x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та z плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та =0. Нор­маль­ный век­тор этой плос­ко­сти имеет вид: \overset\to \mathopn_1 левая круг­лая скоб­ка 1; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти ABC_1.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка d=0 , новая стро­ка b=0 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та c=0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка d=0 , новая стро­ка b=0 , новая стро­ка a= минус дробь: чис­ли­тель: 2c, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . конец си­сте­мы .

 

минус дробь: чис­ли­тель: 2c, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби x плюс cz=0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби x минус z=0 рав­но­силь­но 2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та z=0.

Нор­маль­ный век­тор этой плос­ко­сти: \overset\to \mathopn_2 левая круг­лая скоб­ка 2;0; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ис­ко­мый угол \varphi равен углу между век­то­ра­ми \overset\to \mathopn_1 и \overset\to \mathopn_2.

ко­си­нус \varphi = дробь: чис­ли­тель: \left| 1 умно­жить на 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 0 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 3 плюс 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс 0 плюс 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби рав­но­силь­но \varphi = арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

 

Ответ: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 13
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025