а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ через се­ре­ди­ну D ребра CC₁ про­ве­де­но се­че­ние ADB₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость се­че­ния делит объем приз­мы по­по­лам.

б)   Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми АВС и ADB₁, если бо­ко­вые ребра равны 2, а сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 5.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Диа­го­на­ли вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Е. Из­вест­но, что пло­щадь каж­до­го из тре­уголь­ни­ков АВЕ и DCE равна 1.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм или тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те ВС, если пло­щадь всего че­ты­рех­уголь­ни­ка не пре­вос­хо­дит 4, а AD  =  3.

В де­каб­ре 2020 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S мил­ли­о­ноа руб­лей сро­ком на 36 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца, на­чи­ная с ян­ва­ря 2021 года, долг воз­рас­та­ет на 0,8% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14 число каж­до­го ме­ся­ца, на­чи­ная с ян­ва­ря 2021 года, не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа каж­до­го ме­ся­ца, на­чи­ная с ян­ва­ря 2021 года, долг дол­жен умень­шить­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Из­вест­но, что в пе­ри­од с 02.12.2021 по 14.08.2022 вклю­чи­тель­но нужно вы­пла­тить банку 1,752 млн руб­лей. Най­ди­те S. Какая сумма будет вы­пла­че­на банку в пе­ри­од по 14.12.2021 вклю­чи­тель­но?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет не более двух ре­ше­ний.

На­ту­раль­ное число А та­ко­во, что если его первую цифру пе­ре­ста­вить на по­след­нее место, по­лу­чит­ся число, в n > 1 раз мень­ше числа А.

а)  Су­ще­ству­ет ли двух­знач­ное число А, удо­вле­тво­ря­ю­щее ука­зан­ным усло­ви­ям?

б)  Най­ди­те наи­мень­шее число А, удо­вле­тво­ря­ю­щее ука­зан­ным усло­ви­ям, если n  =  5, а число А на­чи­на­ет­ся с цифры 7.

в)   При­ве­ди­те при­мер числа, ко­то­рое при пе­ре­ста­нов­ке его пер­вой цифры на по­след­нее место уве­ли­чи­ва­ет­ся в 3 раза.