ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 505883 Добавить в вариант

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ c ребром 5 см. Точка I движется по сторонам квадрата $AA_1D_1D,$ со скоростью 1см/с, стартуя из точки $А.$ Двигаясь в направлении обхода $AA_1D_1DA,$ точка I через 7 секунд остановилась. Найти угол между плоскостью ABD и плоскостью $IMB_1,$ где M  — середина $СC_1.$

Спрятать решение

Решение.

Решение:

Решим задачу координатно-векторным методом. Введем декартову систему координат с началом в $B,$ вершине куба. Оси координат направим по прямым, как показано на рисунке.

Ясно, что $A_1I=7 умножить на 1 минус 5=2.$

Уравнение плоскости ABD имеет вид: $z=0.$ Координаты ее нормального вектора: $левая фигурная скобка 0;0;1 правая фигурная скобка .$

Выпишем координаты нужных точек:

$I левая круглая скобка 5;2;5 правая круглая скобка ,$ $M левая круглая скобка 0;5; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$ $B_1 левая круглая скобка 0;0;5 правая круглая скобка .$

Уравнение плоскости $IMB_1$ будем искать в виде: $ax плюс by плюс cz плюс d=0.$ Пусть $d=50.$

Решим систему уравнений:

$система выражений новая строка 5a плюс 2b плюс 5c плюс 50=0 , новая строка 5b плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби c плюс 50=0 , новая строка 5c плюс 50=0 . конец системы .$

$c= минус 10,$ $5b минус 25= минус 50,$ $b= минус 5.$

$5a плюс 2 умножить на левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка плюс 5 умножить на левая круглая скобка минус 10 правая круглая скобка = минус 50,$ $5a=10,$ $a=2.$

Итак, уравнение плоскости $IMB_1 : 2x минус 5y минус 10z плюс 50=0.$ Нормальный вектор этой плоскости имеет координаты: $левая фигурная скобка 2; минус 5; минус 10 правая фигурная скобка .$

$косинус \varphi = дробь: числитель: |2 умножить на 0 минус 5 умножить на 0 минус 10 умножить на 1|, знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 плюс 25 плюс 100 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 1 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: корень из: начало аргумента: 129 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $арккосинус дробь: числитель: 10, знаменатель: корень из: начало аргумента: 129 конец аргумента конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 7

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор стереометрии: Куб, Угол между плоскостями

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь