Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 527401
i

Диа­го­наль ос­но­ва­ния ABCD пра­виль­ной пи­ра­ми­ды SABCD равна 8, вы­со­та пи­ра­ми­ды SO равна 1. Точка M  — се­ре­ди­на ребра SC, точка K  — се­ре­ди­на ребра CD.

а)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми BM и SK.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми BM и SK.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем: AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та AB=8, по­это­му AB=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Далее, AS= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SO в квад­ра­те плюс OA в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та .

а)  Пусть K_1  — се­ре­ди­на KC, тогда K_1M  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка CSK и пря­мая MK_1 па­рал­лель­на пря­мой SK. Далее:

\angle левая круг­лая скоб­ка BM,SK пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle левая круг­лая скоб­ка BM,MK_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle BMK_1.

Пря­мая BM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка CSB. По фор­му­ле для ме­ди­а­ны по­лу­чим:

BM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2SB в квад­ра­те плюс 2CB в квад­ра­те минус SC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 плюс 64 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 81 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BCK_1 имеем:

BK_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BC в квад­ра­те плюс CK_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 32 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби DC пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 конец ар­гу­мен­та .

На­ко­нец, SK  — вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка SDC, по­это­му:

MK_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби SK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SC в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби DC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 минус 8 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Те­перь за­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BMK_1:

34= дробь: чис­ли­тель: 81, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус \angle BMK_1,

от­ку­да ко­си­нус \angle BMK_1= минус дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби . По­сколь­ку угол между пря­мы­ми не может быть тупым, мы нашли угол между не­под­хо­дя­щи­ми их лу­ча­ми. На­сто­я­щий ответ: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби .

 

б)  Имеем:

d левая круг­лая скоб­ка BM,SK пра­вая круг­лая скоб­ка =d левая круг­лая скоб­ка SK,BMK_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =d левая круг­лая скоб­ка K,BMK_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3V_KK_1MB, зна­ме­на­тель: S_BMK_1 конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: d левая круг­лая скоб­ка M,BKK_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_BKK_1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BM умно­жить на MK_1 умно­жить на синус \angle BMK_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка S,ABCD пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби KK_1 умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BM умно­жить на MK_1 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те \angle BMK_1 конец ар­гу­мен­та конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби SO умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби CD умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: BM умно­жить на MK_1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 200 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: а) арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби ; б) дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в пунк­тах а) и б) 2
Вы­пол­нен толь­ко один из пунк­тов   — а) или б)1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 257
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025