СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521389

Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку В перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке К.

а) Докажите, что прямые ВК и АС перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.

Решение.

а) Проекция на плоскость  — прямая которая перпендикулярна Значит, и по теореме о трех перпендикулярах.

 

б) Проведем из точки перпендикуляры KR и на и соответственно. Тогда сечение пирамиды — четырехугольник Боковое ребро пирамиды равно Точка  — основание перпендикуляра из на Далее,

Тогда то есть

По теореме косинусов в треугольнике имеем откуда поэтому и  — середина

Поскольку имеем: и

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 205.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Площадь сечения, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой