Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 537134

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S через сторону основания АВ проведена плоскость, делящая боковые ребра противоположной грани пополам.

а) Докажите, что плоскость сечения делит грань SCD на части, площади которых относятся как 1 : 2.

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если сторона основания равна 1, а высота пирамиды равна  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть M — середина SE, N — середина SD. Плоскость ABN пересекает грань SCD в точке P. Прямая NP лежит в одной плоскости с AB и DC, значит, AB, DC и NP пересекаются в одной точке — K. Углы ABC и BCD равны 120°, таким образом, треугольник BCK — равносторонний (стороны KC и CD равны). По теореме Менелая

 дробь: числитель: SP, знаменатель: PC конец дроби умножить на дробь: числитель: CK, знаменатель: KD конец дроби умножить на дробь: числитель: DN, знаменатель: NS конец дроби =1.

Следовательно, SP : PC = 2 : 1, SP : SC = 2 : 3, откуда S_SPN:S_SCD= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . Отсюда PN делит площадь треугольника SCD в отношении 2 : 1.

б) Сечение пирамиды этой плоскостью является шестиугольником ATMNPB. Пусть H — центр основания пирамиды, тогда HA = AB. Тогда вычислим:

AS в квадрате =AH в квадрате плюс HS в квадрате =1 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби \Rightarrow AS= дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 2 конец дроби .

Найдем косинус угла CSD. По теореме косинусов

 косинус \angle CSD= дробь: числитель: дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби минус 1, знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 22, знаменатель: 26 конец дроби = дробь: числитель: 11, знаменатель: 13 конец дроби .

Найдем PN:

\ левая квадратная скобка PN в квадрате =NS в квадрате плюс SP в квадрате минус 2SP умножить на NS умножить на дробь: числитель: 11, знаменатель: 13 конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на дробь: числитель: корень из 13 умножить на корень из 13 умножить на 11, знаменатель: 4 умножить на 3 умножить на 13 конец дроби = дробь: числитель: 13 умножить на 25 минус 22 умножить на 12, знаменатель: 144 конец дроби = дробь: числитель: 61, знаменатель: 144 конец дроби .\ правая квадратная скобка

Тогда PN= дробь: числитель: корень из 61, знаменатель: 12 конец дроби . Найдем PB:

\ левая квадратная скобка PB в квадрате =PC в квадрате плюс CB в квадрате минус 2PC умножить на CB умножить на косинус \angle PCB= левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 1 минус дробь: числитель: 2 умножить на корень из 13, знаменатель: 6 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 13 конец дроби = дробь: числитель: 13, знаменатель: 36 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 36 конец дроби .\ правая квадратная скобка

Получаем PB= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби . Найдем NK:

NK в квадрате =DN в квадрате плюс DK в квадрате минус 2DN умножить на DK умножить на косинус \angle SDC= дробь: числитель: 13, знаменатель: 16 конец дроби плюс 4 минус 2 умножить на дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 13 конец дроби = дробь: числитель: 61, знаменатель: 16 конец дроби .

Таким образом, NK= дробь: числитель: корень из 61, знаменатель: 4 конец дроби , отношение  дробь: числитель: PN, знаменатель: NK конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Пусть MR — высота трапеции LMNK. Найдем MR:

MR в квадрате =ML в квадрате минус LR в квадрате = дробь: числитель: 61, знаменатель: 16 конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 61 минус 25, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: 16 конец дроби .

Тогда MR= дробь: числитель: 6, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Пусть h — высота треугольника BPK, проведенная к BK. Отношение  дробь: числитель: h, знаменатель: MR конец дроби = дробь: числитель: PK, знаменатель: NK конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , откуда h=1. Получим искомую площадь:

S_ATMNPB=S_LMNK минус 2S_BPK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 1 умножить на 1= дробь: числитель: 21, знаменатель: 8 конец дроби минус 1= дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 307. (Часть C)