Пусть M  — се­ре­ди­на AB, а K  — такая точка в плос­ко­сти ос­но­ва­ния, что тогда вто­рая плос­кость про­хо­дит через точку K. Зна­чит, един­ствен­ные ребра пи­ра­ми­ды, ко­то­рые она может пе­ре­сечь  — это SA и SC (BK явно пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние CA, а осталь­ные ребра плос­кость пе­ре­се­ка­ет в точке B). Плос­кость, со­дер­жа­щая CM, пе­ре­се­ка­ет либо SA, либо SB (вто­рой ва­ри­ант не­воз­мо­жен, тогда вто­рая плос­кость даст се­че­ние из одной точки). По­сколь­ку плос­ко­сти па­рал­лель­ны, они об­ра­зу­ют рав­ные углы с плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, Зна­чит, пло­ща­ди про­ек­ций се­че­ний на плос­кость ос­но­ва­ния долж­ны быть равны. Про­ек­ци­ей пер­во­го се­че­ния будет тре­уголь­ник AMC, име­ю­щий пло­щадь, рав­ную по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Про­ек­ци­ей вто­ро­го се­че­ния будет тре­уголь­ник BAT, где T  — про­ек­ция точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния с реб­ром SC на ребро AC. Зна­чит, T долж­на ока­зать­ся се­ре­ди­ной AC, по­это­му вто­рое се­че­ние про­хо­дит через се­ре­ди­ну CS (точку N).

Пусть O  — се­ре­ди­на SM. Тогда пря­мая NO па­рал­лель­на пря­мой CM как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SCM. Зна­чит, O лежит во вто­рой плос­ко­сти. Про­длим BO до пе­ре­се­че­ния с SA в точке Q. Далее, BQN  — ис­ко­мое се­че­ние вто­рой плос­ко­стью. Про­ве­дем те­перь через M пря­мую, па­рал­лель­ную BQ, и обо­зна­чим за P ее пе­ре­се­че­ние с от­рез­ком SA (оче­вид­но P  — се­ре­ди­на AQ). Тога се­че­ние пер­вой плос­ко­стью это MPC.

По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASM и пря­мой QOB имеем: от­ку­да Зна­чит, точки P и Q делят AS на три рав­ные части.

а)  Имеем:

Между плос­ко­стя­ми на­хо­дит­ся осталь­ная часть объ­е­ма, то есть

б)  По­сколь­ку P  — се­ре­ди­на от­рез­ка AQ, имеем:

Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка PMC, а затем его пло­щадь. Имеем:

Итак, тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, по­это­му его пло­щадь равна

На­ко­нец, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно

Ответ: а) б)