Куб целиком находится в правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S так, что одна грань куба принадлежит основанию, одно ребро целиком принадлежит грани SBC, а грани SAB и SAC содержат по одной вершине куба. Известно, что ребро АВ в 2 раза больше высоты пирамиды.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через вершины куба, принадлежащие граням SAB и SAC, и вершину пирамиды, перпендикулярна плоскости ASD, где D — середина стороны ВС.
б) Найдите отношение объемов пирамиды и куба.
а) Рассмотрим ребро куба, лежащее в грани SBC. Верхняя грань куба параллельна основанию пирамиды, поэтому пересекает грань SBC по прямой, параллельной BC. Значит, и ребро куба, соединяющее вершины, принадлежащие граням SAB (обозначим M) и SAC (обозначим N) параллельна BC. Плоскость же ASD перпендикулярна BC, так как прямая AD перпендикулярна прямой BC и прямая SD перпендикулярна прямой BC. Значит, плоскость ASD перпендикулярна прямой MN, а вместе с ним (по признаку перпендикулярности плоскостей) и плоскости SMN.
б) Пусть высота пирамиды равна x. Тогда 
и площадь основания пирамиды равна:
Тогда объем пирамиды равен:
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, содержащей верхнюю грань куба. Это правильный треугольник, в который вписан квадрат так, что одна сторона квадрата лежит на стороне треугольника, а две другие его вершины лежат на других сторонах треугольника. Без ограничения общности можно считать, что ребро куба равно 1. Тогда сторона этого треугольника равна:
Теперь можно заметить, что плоскость, содержащая верхнюю грань куба отсекла от нашей пирамиды подобную пирамиду с высотой 
Запишем отношение подобия:
Решая это уравнение, получим, что
Теперь можно вычислить отношение объемов пирамиды и куба. Оно равно:
Ответ: 