Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны ребра АВ  =  6, AD  =  12, AA₁  =  10. Точка Е при­над­ле­жит от­рез­ку BD, при­чем ВЕ : ED  =  1 : 2. Плос­кость α про­хо­дит через точки А, Е и се­ре­ди­ну ребра ВВ₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В₁ до плос­ко­сти се­че­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Из вер­шин А и В ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС про­ве­де­ны вы­со­ты BQ и AH. Из­вест­но, что угол В  — тупой, BC : CH  =  4 : 5, BH  =  BQ.

А)  До­ка­жи­те, что диа­метр опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABQ окруж­но­сти в раз боль­ше BQ.

Б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка AHBQ, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка HQC равна 25.

Рус­лан вло­жил 1 млн. в банк под 14% го­до­вых (на­чис­ле­ние в конце года на общую сумму). При этом каж­дый месяц он сни­ма­ет по Х тыс. руб­лей на про­жи­ва­ние (на­чи­ная со 2 года) в те­че­ние 4 лет, и в конце 5 года после на­чис­ле­ния про­цен­тов сумма ока­за­лась не менее 1 млн. Опре­де­ли­те какую мак­си­маль­ную сумму он мог сни­мать еже­ме­сяч­но. В от­ве­те ука­жи­те це­ло­чис­лен­ное зна­че­ние в ты­ся­чах руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a , при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня

На ли­сточ­ке на­пи­са­но не­сколь­ко на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых могут быть оди­на­ко­вые. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое‐то число m, вы­пи­сы­ва­е­мое на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся толь­ко одно такое число m, а все осталь­ные числа, рав­ные m, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 2,3,4,5, то на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­пи­сан­ных на ли­сточ­ке чисел, при ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 4, 6, 8.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­пи­сан­ных на ли­сточ­ке чисел, для ко­то­рых на доске за­пи­сан набор чисел 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры за­пи­сан­ных на ли­сточ­ке чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор чисел 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.