В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна 12, 
В треугольнике ABD проведена биссектриса 
а в треугольнике BCD проведены медиана 
и высота 
а) Найдите объем пирамиды 
б) Найдите площадь проекции треугольника 
на плоскость ABC.
Пусть H — основание высоты треугольника ADB, проведенной из вершины D. Тогда 
и 
поэтому 
и 
а) Поскольку 
биссектриса,
Площадь боковой грани равна 
поэтому
Тогда по теореме Пифагора для треугольника 
получаем
то есть
Расстояние от A до центра основания O равно 
поэтому
поэтому объем пирамиды ABCD равен:
Далее:
поэтому
б) Очевидно проекции данных точек (
) делят отрезки AO, BO, CO в том же отношении, в каком сами точки делят боковые ребра. Поэтому:
Ответ: а) 
б) 