В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N — середины ребер АВ и CD.
а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 45°;
б) Найдите расстояние между прямыми MN и AD.
а) Проведем через точку M отрезок ML — среднюю линию треугольника ABC. Тогда прямая ML параллельна BC, и искомый угол равен углу NML. Треугольник NML — равнобедренный
Найдем MN. Пусть N' — проекция точки N на ABC. Так как DN = NC, точка N' — середина OC и 
где O — центр ABC. Следовательно,
Тогда
Таким образом, треугольник MNL — равнобедренный прямоугольный с гипотенузой MN, а значит, угол 
б) Рассмотрим плоскость ADK, где K — середина BC. DO принадлежит ADK, DO перпендикулярна ABC, откуда DO перпендикулярна BC, AK перпендикулярна BC, следовательно, ADK перпендикулярна BC. Точка K — проекция BC на ADK. ML параллельна BC, значит, ML перпендикулярна ADK, NR параллельна BC, отсюда NR перпендикулярна ADK. Таким образом, ST — проекция MN на ADK, где S — точка пересечения RN с DK, а T — точка пересечения ML с AK. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между проекциями их на плоскость, перпендикулярную одной из них. Значит, искомое расстояние — расстояние от K до ST. При этом ST — средняя линия равнобедренного треугольника ADK с основанием
Ответ: б) 