Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 511245

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 8, BC = 6, AA1 = 12. Точка K  — середина ребра AD, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 1 : 2.

а) Докажите, что прямая BD1 параллельна плоскости CKM.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью CKM.

Спрятать решение

Решение.

а) Поместим заданный параллелепипед в декартову систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек: K(3; 0; 0), C(0; 8; 0), M(0; 0; 4), B(6; 8; 0), D1(0; 0; 12).

Будем искать уравнение плоскости CKM.

 система выражений  новая строка 3a плюс d=0 , новая строка 8b плюс d=0 , новая строка 4c плюс d=0 ; конец системы .

a= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 3 конец дроби ;b= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 8 конец дроби ;c= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 4 конец дроби .

 минус дробь: числитель: d, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: d, знаменатель: 8 конец дроби y минус дробь: числитель: d, знаменатель: 4 конец дроби z плюс d=0 равносильно 8x плюс 3y плюс 6z минус 24=0.

Нормальный вектор (CKM): \overlinen= левая круглая скобка \overline8;3;6 правая круглая скобка . \overlineBD_1= левая круглая скобка \overline минус 6; минус 8;12 правая круглая скобка .

\overlinen умножить на \overlineBD_1=8 умножить на левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка плюс 3 умножить на левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка плюс 6 умножить на 12= минус 48 минус 24 плюс 72=0.

Таким образом, \overlinen\bot \overlineBD_1, а это значит, что BD_1|| левая круглая скобка CKM правая круглая скобка .

б) Теперь найдем косинус угла между плоскостью CKM и нижним основанием параллелепипеда, уравнение которого имеет вид: z = 0. Нормальный вектор этой плоскости, т. е. нижнего основания параллелепипеда: \overlinen_1= левая круглая скобка \overline0;0;1 правая круглая скобка .

Если φ — искомый угол, то:

 косинус \varphi = дробь: числитель: |\overlinen умножить на \overlinen_1|, знаменатель: |\overlinen| умножить на |\overlinen_1| конец дроби = дробь: числитель: |8 умножить на 0 плюс 3 умножить на 0 плюс 6 умножить на 1|, знаменатель: корень из 64 плюс 9 плюс 36 умножить на корень из 0 плюс 0 плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из 109 конец дроби . S левая круглая скобка CKD правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KD умножить на CD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на 8=12.

 

S левая круглая скобка CKM правая круглая скобка = дробь: числитель: S левая круглая скобка CKD правая круглая скобка , знаменатель: косинус \varphi конец дроби = дробь: числитель: 12 умножить на корень из 109, знаменатель: 6 конец дроби =2 корень из 109.

 

Ответ: б) 2 корень из 109.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 126.