В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 8, BC = 6, AA1 = 12. Точка K — середина ребра AD, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 1 : 2.
а) Докажите, что прямая BD1 параллельна плоскости CKM.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью CKM.
а) Поместим заданный параллелепипед в декартову систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек: K(3; 0; 0), C(0; 8; 0), M(0; 0; 4), B(6; 8; 0), D1(0; 0; 12).
Будем искать уравнение плоскости CKM.
Нормальный вектор (CKM): 
Таким образом, 
а это значит, что 
б) Теперь найдем косинус угла между плоскостью CKM и нижним основанием параллелепипеда, уравнение которого имеет вид: z = 0. Нормальный вектор этой плоскости, т. е. нижнего основания параллелепипеда: 
Если φ — искомый угол, то:
Ответ: б) 