Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка P — середина ребра СВ, точка K лежит на ребре CD так, что KD : KC = 1 : 2. Плоскость, проходящая через точки P, K и A1 пересекает ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что DM : D1M = 1 : 4.
б) Найдите угол между плоскостями PKA1 и ABC.
Воспользуемся координатным методом исследования. Поместим заданный куб в декартову систему координат, как показано на рисунке. В таком случае имеем точки: A1(12; 0; 12), K(8; 12; 0), P(0; 6; 0).
Будем искать уравнение плоскости PKA1. Примем d = 24. Тогда:
Далее:
Итак, уравнение плоскости PKA: 3x − 4y − 5z + 24 = 0.
а) Найдем аппликату точки М. Ее абсцисса и ордината имеют значения 12 и 12 соответственно.
Отсюда: DM = 2,4; D1M = 12 − 2,4 = 9,6. DM :D1M = 2,4 : 9,6 = 1 : 4, что и требовалось доказать.
б) Плоскость ABC имеет уравнение: z = 0. Если φ — искомый угол, то:
Ответ: б) 45°