Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 514596

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а)  Докажите, что объём пирамиды с основанием A1BCD1 и вершиной в точке B1 составляет третью часть объёма куба.

б)  Найдите угол между плоскостями B1A1B и B1D1C.

Спрятать решение

Решение.

a)  Имеем:

V_B_1A_1BCD_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка B1,A_1BCD_1 правая круглая скобка умножить на S_A_1BCD_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби B_1A умножить на A1B умножить на A_1D_1=

 

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби B_1A в квадрате умножить на AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на 2AB в квадрате умножить на AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби V_A\ldots D_1.

б)  \angle левая круглая скобка B_1A_1B,B_1D_1C правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка D_1C_1C,B_1D_1C правая круглая скобка . Эти плоскости пересекаются по прямой D_1C. Опустим на нее перпендикуляры из точек C_1 и B_1. Они упадут в середину K отрезка D_1C, поскольку треугольники C_1D_1C и B_1D_1C равнобедренные. Тогда в треугольнике B_1C_1K имеем

\angle левая круглая скобка D_1C_1C,B_1D_1C правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка B_1K,C_1K правая круглая скобка =\angle B_1KC_1=
= арктангенс дробь: числитель: B_1C_1, знаменатель: C_1K конец дроби = арктангенс дробь: числитель: 2B_1C_1, знаменатель: C_1D конец дроби = арктангенс дробь: числитель: 2B_1C_1, знаменатель: корень из 2B_1C_1 конец дроби = арктангенс корень из 2.

 

Ответ:  арктангенс корень из 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 160.
Классификатор стереометрии: Куб, Угол между плоскостями