Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD вы­со­та РО в пол­то­ра раза боль­ше, чем сто­ро­на ос­но­ва­ния. 

а)  До­ка­жи­те, что через точку О можно про­ве­сти такой от­ре­зок KM с кон­ца­ми на сто­ро­нах AD и BC со­от­вет­ствен­но, что  се­че­ние PKM пи­ра­ми­ды будет рав­но­ве­ли­ко ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. 

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды PABMK к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды PABCD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Из точки M, взя­той на окруж­но­сти с цен­тром в точке О, на диа­мет­ры AB и СD опу­ще­ны  пер­пен­ди­ку­ля­ры MK и MP со­от­вет­ствен­но.  

а)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет точка, оди­на­ко­во удалённая от точек M, О, P, K. 

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MKP, если из­вест­но, что ∠MKP  =  30°, ∠AOC  =  15°, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 4. 

Лео­нид яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые при­бо­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние.

В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но 4t³ часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t при­бо­ров; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t³ часов в не­де­лю, они про­из­во­дят t при­бо­ров.  

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Лео­нид пла­тит ра­бо­че­му 1 ты­ся­чу руб­лей. Не­об­хо­ди­мо, чтобы за не­де­лю сум­мар­но про­из­во­ди­лось 20 при­бо­ров. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить вла­дель­цу за­во­дов еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три ре­ше­ния.

а)  Между циф­ра­ми от 1 до 9 рас­ставь­те знаки ариф­ме­ти­че­ских дей­ствий и скоб­ки (если нужно) так, чтобы по­лу­чи­лось вер­ное ра­вен­ство: 1  2  3  4  5  6  7  8  9  = 100.

б)  Рас­ставь­те в каж­дую клет­ку по одной цифре так, чтобы вы­пол­ня­лись сле­ду­ю­щие ра­вен­ства (при­чем все цифры не­ну­ле­вые и ис­поль­зу­ют­ся по од­но­му разу):

в)  Можно ли из цифр от 1 до 9 со­ста­вить такое де­вя­ти­знач­ное число, что число из двух его пер­вых цифр де­лит­ся на 2, из трёх пер­вых цифр  — де­лит­ся на 3 и так далее, а само число де­лит­ся на 9?