а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD угол ADC равен а сто­ро­на ос­но­ва­ния ABC равна 2. Точки K, M, N  — се­ре­ди­ны ребер AB, CD и АС со­от­вет­ствен­но. Точка E лежит на от­рез­ке KM так, что Через точку E про­хо­дит плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­ная от­рез­ку KM.

а)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость α делит ребра пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки N до плос­ко­сти α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точка M  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB, На ка­те­те BC взята точка K такая, что

а)  До­ка­жи­те, что угол KMC пря­мой.

б)  Пусть N  — вто­рая (по­ми­мо M) точка пе­ре­се­че­ния пря­мой СМ и опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка BMK. Най­ди­те угол АNВ.

Алек­сандр Сер­ге­е­вич взял ипо­теч­ный кре­дит сум­мой 2 млн руб­лей на 20 лет. Усло­вия вы­пла­ты кре­ди­та та­ко­вы:

—  в на­ча­ле каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10%;

—  после на­чис­ле­ния про­цен­тов вы­пла­чи­ва­ет­ся не­ко­то­рая часть долга;

—  после вы­пла­ты долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше, чем в ана­ло­гич­ном пе­ри­о­де про­шло­го года.

После 8‐⁠й вы­пла­ты Алек­сан­дру Сер­ге­е­ви­чу уда­лось про­из­ве­сти ре­струк­ту­ри­за­цию кре­ди­та, в ре­зуль­та­те чего про­цент, на­чис­ля­е­мый в по­сле­ду­ю­щие годы, умень­шил­ся до 8%. Какую сумму сэко­но­мил Алек­сандр Сер­ге­е­вич?

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние?

В ма­га­зи­не про­да­ют­ся мо­биль­ные те­ле­фо­ны, каж­дый из ко­то­рых стоит целое число тысяч руб­лей (боль­ше нуля, но менее 100 тыс.). Ма­га­зин уста­но­вил скид­ки на не­сколь­ко те­ле­фо­нов: если цена те­ле­фо­на со­став­ля­ет N тыс. руб., то он продаётся со скид­кой N%.

а)  Могла ли сред­няя ве­ли­чи­на скид­ки со­ста­вить ровно 1 тыс. руб.?

б)  Могла ли сред­няя ве­ли­чи­на скид­ки со­ста­вить ровно 2 тыс. руб.?

в)  Из­вест­но, что сред­няя ве­ли­чи­на скид­ки со­ста­ви­ла ровно 3 тыс. руб. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство те­ле­фо­нов могло про­да­вать­ся со скид­кой?