Дана треугольная пирамида ABCD объемом 40. Через вершину A и середину M ребра BC проведена плоскость, пересекающая ребро BD в точке N. Расстояние от вершины B до этой плоскости равно 4, а площадь треугольника AMN равна 5.
а) Докажите, что точка N делит ребро BD в отношении 1 : 2, считая от точки B.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC пирамиды, если дополнительно известно, что ребро BD перпендикулярно плоскости ABC и равно 15.
а) Вычислим объём пирамиды ABMN двумя способами:
Заметим теперь, что 
так как высоты этих пирамид, опущенные из вершины A, совпадают. Таким образом, 
При этом, по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом,
Следовательно, 
то есть 
б) Так как 
из п. а) находим, что 
Вычислим объём ABMN третьим способом:
отсюда 
Пусть угол между плоскостями ABC и AMN равен α. Заметим, что треугольник AMB есть проекция треугольника AMN на плоскость ABC. Тогда 
откуда 
Ответ: б) 