Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те его корни, при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лу

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K  — се­ре­ди­на ребра C₁D₁, точка P  — се­ре­ди­на ребра AD, точка M  — се­ре­ди­на ребра CC₁.

а)  По­строй­те се­че­ние куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки K, P и M.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния, если ребро куба рано 6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке А. Пря­мая l ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке В, а вто­рой  — в точке С.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей 8 и 2.

В банк был по­ло­жен вклад под 10% го­до­вых. Через год, после на­чис­ле­ния про­цен­тов, вклад­чик снял со счета 2000 руб­лей, а еще через год (опять после на­чис­ле­ния про­цен­тов) снова внес 2000 руб­лей. Вслед­ствие этих дей­ствий через три года со вре­ме­ни от­кры­тия вкла­да вклад­чик по­лу­чил сумму мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной (если бы не было про­ме­жу­точ­ных опе­ра­ций со вкла­дом). На сколь­ко руб­лей мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной суммы он по­лу­чил?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ре­ше­ние.

Про на­ту­раль­ное число N из­вест­но, что сумма его че­ты­рех наи­мень­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 12.

А)  Может ли сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа N рав­нять­ся 195?

Б)  Может ли сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа N рав­нять­ся 120?

В)  Най­ди­те все воз­мож­ные числа N, у ко­то­рых сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей не пре­вос­хо­дит 100.