Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка N — середина СВ, а точка M лежит на ребре AA1, причем AM : MA1 = 3 : 1. Определите расстояние между прямыми MN и BC1.
Поместим заданный куб в декартову систему координат, как показано на рисунке.
Найдем координаты нужных точек: M (4; 0; 3), N (2; 4; 0), B (4; 4; 0), C (0; 4; 4).
Запишем координаты векторов 
и
Найдем координаты вектора 
перпендикулярного как к вектору 
так и к вектору 
Пусть его координаты будут равны x, y, z. Поскольку скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, то:
Итак, 
Заменим этот вектор ему коллинеарным деля полученные координаты на z.
Составим уравнение плоскости, перпендикулярной вектору 
и проходящей через точку N. Искомое уравнение будет иметь вид: 
где a, b, c — соответствующие координаты вектора 
x0, y0, z0 — координаты любой точки прямой BC1. Пусть такой точкой будет В. Тогда:
Расстояние между скрещивающимися прямыми MN и BC1 найдем как расстояние между любой точкой прямой MN до найденной плоскости. В качестве такой точки выберем N.
Ответ: 