Дана правильная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания АВ = 4, а боковое ребро АА1 = 9, Точка М — середина ребра АС, а на ребре АА1 взята точка Т так, что АТ = 3.
а) Докажите, что плоскость ВВ1М делит отрезок С1Т пополам.
б) Плоскость ВТС1 делит отрезок МВ1 на две части. Найти длину большей из них.
а) Плоскость BB1M пересекает грань ACC1A1 по прямой параллельной BB1, а значит, ребро A1C1 в точке M1 — его середине. Пусть точка K находится на пресечении прямых MM1 и TC1, тогда MK параллельна прямой A1T. Таким образом, в треугольнике A1TC1 отрезок M1K является средней линией, следовательно, K — середина C1T.
б) Точка K лежит в плоскостях BB1M и BTC1, следовательно, в их пересечении. Значит, прямая BK лежит на пересечении плоскостей BB1M и BTC1. Таким образом, точка пересечения MB1 и BTC1 лежит на BK. Получим точку L на пересечении прямых MB1 и BK. Вычислим, в каком отношении точка L делит отрезок B1M. Так как A1T = 6, M1K = 3:
Пусть точка N находится на пересечении прямых BK и B1M1. Треугольники BMK и NM1K подобны, 
Треугольники BML и B1NL также подобны, 
тогда 
Ответ: б) 