Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На реб­рах АА₁, CC₁, C₁D₁ па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ рас­по­ло­же­ны точки  M, N и  P так, что AM : AA₁  =  C₁N : C₁C  =  C₁P : C₁D₁  =  4 : 5.

а)  По­строй­те точку H пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNP с пря­мой BC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние BH : BC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC со­от­вет­ствен­но в точ­ках D и E, точки A, D, E, C лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те длину вы­со­ты тре­уголь­ни­ка ABC, опу­щен­ной из точки А, если сто­ро­ны AB и АС равны со­от­вет­ствен­но 5 и 2. 

Из стро­и­тель­ных де­та­лей двух видов можно со­брать три типа домов. Для сбор­ки 12‐квар­тир­но­го дома не­об­хо­ди­мо 70 де­та­лей пер­во­го и 100 де­та­лей вто­ро­го типа. Для 16‐квар­тир­но­го дома тре­бу­ет­ся 110 и 150, а для дома на 21 квар­ти­ру нужно 150 и 200 де­та­лей пер­во­го и вто­ро­го видов со­от­вет­ствен­но. Всего име­ет­ся 900 де­та­лей пер­во­го и 1300 де­та­лей вто­ро­го вида. Сколь­ко и каких домов нужно со­брать, чтобы общее ко­ли­че­ство квар­тир в них было наи­боль­шим?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b, при ко­то­рых си­сте­ма

имеет не­чет­ное число ре­ше­ний.

В вы­ра­же­нии 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 рас­ста­ви­ли скоб­ки так, что в ре­зуль­та­те вы­чис­ле­ний по­лу­чи­лось целое число. Каким

а)  наи­боль­шим; 

б)  наи­мень­шим может быть это число?