Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ АВ  =  ВС  =  4, СС₁  =  8. Точка К  — се­ре­ди­на ребра АВ, точка М  — се­ре­ди­на ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD₁ так, что DP : PD₁  =  3 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость КМР пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DВ₁.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью КМР, а вер­ши­ной  — точка D.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В тре­уголь­ни­ке ABC на AB, как на диа­мет­ре, по­стро­е­на окруж­ность ω₁, а на AC, как на диа­мет­ре, по­стро­е­на окруж­ность ω₂. Окруж­но­сти ω₁ и ω₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке М, от­лич­ной от точек А, В и С.

а)  До­ка­жи­те, что точки М, В и С лежат на одной пря­мой.

б)  Пусть АМ  =  6, а диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВС, равен 10. Най­ди­те про­из­ве­де­ние АВ∙АС.

Петр Ива­но­вич взял кре­дит на не­сколь­ко лет и вы­пла­тил его рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми по 200000 руб. При этом в на­ча­ле каж­до­го года сумма те­ку­ще­го долга уве­ли­чи­ва­лась на 10%, а в конце года про­из­во­дил­ся платёж. Если бы Петр Ива­но­вич не делал пла­те­жей, то за это время вслед­ствие на­чис­ле­ния про­цен­тов сумма кре­ди­та со­ста­ви­ла бы 928 200 руб. На сколь­ко лет был взят кре­дит?

Най­ди­те все а, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство имеет ровно че­ты­ре це­ло­чис­лен­ных ре­ше­ния. Для каж­до­го та­ко­го ука­жи­те эти ре­ше­ния.

В шах­мат­ном тур­ни­ре участ­во­ва­ло 20 шах­ма­ти­стов, причём 6 из них  — из Рос­сии. Каж­дый шах­ма­тист сыг­рал по одной пар­тии с каж­дым. За по­бе­ду в пар­тии шах­ма­тист по­лу­чал 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, в слу­чае про­иг­ры­ша  — 0 очков.

а)  Могли ли все рос­сий­ские шах­ма­ти­сты на­брать в сумме ровно 14 очков?

б)  Могли ли все рос­сий­ские шах­ма­ти­сты на­брать в сумме ровно 100 очков?

в)  Из­вест­но, что пер­вое место занял шах­ма­тист из Рос­сии, а вто­рое место  — шах­ма­тист

из дру­гой стра­ны. Какое наи­боль­шее сум­мар­ное ко­ли­че­ство очков могли на­брать рос­сий­ские шах­ма­ти­сты?