а)  Ис­ко­мое от­но­ше­ние не будет за­ви­сеть от длин ребер за­дан­ной приз­мы. По­это­му мы сами впра­ве вы­брать длину ребер при ос­но­ва­нии приз­мы и длину ее бо­ко­вых ребер.

Пусть для опре­де­лен­но­сти сто­ро­ны ос­но­ва­ния приз­мы , будет равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 3.

По­ме­стим за­дан­ную приз­му в пря­мо­уголь­ную де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты не­ко­то­рых точек:

Зная, что точки B, D₁, F₁ лежат в плос­ко­сти β, будем ис­кать урав­не­ние этой плос­ко­сти:

Вы­чтем урав­не­ние (3) из урав­не­ния (2):

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние а в урав­не­ние (1).

Те­перь зна­че­ние b под­ста­вим в урав­не­ние (2):

Итак, урав­не­ние плос­ко­сти β имеет вид:

Точа M лежит на пря­мой AA₁. Зна­чит, она может быть за­да­на сво­и­ми ко­ор­ди­на­та­ми: То есть:

Итак, (0; −1; 1). AM  =  1, A₁M  =  3 − 1  =  2; AM : A₁M  =  1 : 2, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Оче­вид­но, урав­не­ние плос­ко­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния приз­мы имеет вид: z  =  0. Если угол между се­ку­щей плос­ко­стью β и ос­но­ва­ни­ем приз­мы равен φ, то

Ответ: б)