Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505895
i

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны 1. Найти рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB_1 и BC_1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­да­чу решим ко­ор­ди­нат­но-век­тор­ным ме­то­дом.

Со­еди­ним точку O_1с точ­ка­ми А иB_1 от­рез­ка­ми. Че­ты­рех­уголь­ник ABC_1O_1  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку C_1O_1||BA, C_1O_1=BA. От­сю­да AO_1||BC_1.

Рас­смот­рим плос­кость левая круг­лая скоб­ка AB_1O_1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Оче­вид­но, BC_1|| левая круг­лая скоб­ка AB_1O_1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние \rho между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми AB_1 и BC_1 равно рас­сто­я­нию между пря­мой BC_1 и плос­ко­стью левая круг­лая скоб­ка AB_1O_1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке O  — цен­тре ниж­не­го ос­но­ва­ния приз­мы. Ось x на­пра­вим по OK, где K  — се­ре­ди­на AB, ось y  — по ОF, ось z  — по OO_1 (O_1  — центр верх­не­го ос­но­ва­ния приз­мы).

Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек:

O левая круг­лая скоб­ка 0;0;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , C_1 левая круг­лая скоб­ка 0; минус 1;1 пра­вая круг­лая скоб­ка , O_1 левая круг­лая скоб­ка 0;0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка , B_1 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка , A левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Урав­не­ние плос­ко­сти левая круг­лая скоб­ка AB_1O_1 пра­вая круг­лая скоб­ка будем ис­кать в виде ax плюс by плюс cz плюс d=0. Ко­ор­ди­на­ты точек O_1, A, B_1 обя­за­ны удо­вле­тво­рить урав­не­нию этой плос­ко­сти. Пусть d=1.

Решим си­сте­му урав­не­ний:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби b плюс 1=0 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс c плюс 1=0 , новая стро­ка c плюс 1=0 конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби b= минус 1 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби b=0 конец си­сте­мы .

с = минус 1, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a= минус 1, a= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , b= минус 1.

Итак, ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид: минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби x минус y минус z плюс 1=0 или x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та z минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =0.

Ис­ко­мое рас­сто­я­ние най­дем по фор­му­ле \rho = дробь: чис­ли­тель: \left| ax_0 плюс by_0 плюс cz_0 плюс d |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те конец дроби , где x_0,y_0,z_0  — ко­ор­ди­на­ты любой точки пря­мой BC_1. В ка­че­стве такой точки вы­бе­рем C_1 левая круг­лая скоб­ка 0; минус 1;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

\rho = дробь: чис­ли­тель: \left| 1 умно­жить на 0 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 3 плюс 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 9
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма, Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми, Се­че­ние  — па­рал­ле­ло­грамм
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025